Определения

На рисунке 6.1 изображено произвольное сечение F, отнесенное к некоторой системе координат (y, z), где

• F - величина площади сечения;
• dF - элементарная часть этой площади;
• y, z - координаты элементарной площадки;
• ρ - радиус-вектор y;
• C - центр тяжести площади сечения.

Площадь F, ограниченная произвольной кривой, определяется по формуле:

Статические моменты площади F относительно осей y и z определяются по формулам:

Размерность статического момента сечения - [м³].

Если известна величина площади F и координаты ее центра тяжести, то S_y, S_z определяются по формулам:

Отсюда, если известна площадь и статические моменты, то координаты центра тяжести площади F определяются по формулам:

Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными. Относительно любых центральных осей статические моменты сечения равны нулю.

Центр тяжести сечения, имеющего ось симметрии, находится на этой оси.

Осевые моменты инерции площади F определяются по формулам:

Рис. 6.1.

Центробежный момент инерции площади F определяется по формуле:

Полярный момент инерции (относительно начала координат) площади F определяется по формуле:

Так как :

Размерность моментов инерции - [м⁴]. Осевые моменты инерции всегда можно представить как произведения площади фигуры на квадраты некоторых вспомогательных величин, имеющих размерность длины и называемых радиусами инерции. Следовательно, радиусы инерции сечения относительно осей y и z определяются по формулам:

Осевые и полярный моменты инерции, представляющие собой пределы сумм положительных величин, всегда положительны, а центробежный момент инерции может быть величиной положительной, отрицательной и равной нулю, так как координаты y и z входят в его выражение в первых степенях.

Из самого смысла выражений для статических моментов и моментов инерции следует, что моменты инерции и статические моменты фигуры относительно каких-либо осей равны суммам соответствующих моментов всех ее частей относительно тех же осей. Это свойство будет использоваться в дальнейшем при расчете сложных сечений, которые можно разбивать на простые фигуры.

Моменты инерции и статические моменты сечения зависят от формы и размеров сечения, а также и от расположения осей координат. Какого-либо геометрического смысла эти величины не имеют. Поэтому формулы (6.1) (6.9) надо рассматривать и как определения этих геометрических характеристик. Названия им даны по формальной аналогии с динамическими моментами инерции тела и моментами сил.

© MYsopromat.ru